【题目】棋盘上标有第、、、、站,棋子开始位于第站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到调到第站或第站时,游戏结束.设棋子位于第站的概率为.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币次后,求棋手所走步数之和的分布列与数学期望;
(2)证明:;
(3)求、的值.
【答案】(1)分布列见解析,随机变量的数学期望为;(2)证明见解析;
(3),.
【解析】
(1)根据题意得出随机变量的可能取值有、、、,利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率,可列出随机变量的分布列,由此计算出随机变量的数学期望;
(2)根据题意,棋子要到第站,由两种情况,由第站跳站得到,也可以由第站跳站得到,由此得出,并在该等式两边同时减去,可得出所证等式成立;
(3)结合(1)、(2)可得,利用累加法求出数列的通项公式,从而可求出和的值.
(1)由题意可知,随机变量的可能取值有、、、.
,,
,.
所以,随机变量的分布列如下表所示:
所以,随机变量的数学期望为;
(2)根据题意,棋子要到第站,由两种情况,由第站跳站得到,其概率为 ,也可以由第站跳站得到,其概率为,所以,.
等式两边同时减去得;
(3)由(2)可得,,.
由(2)可知,数列是首项为,公比为的等比数列,
,
,
又,则,
由于若跳到第站时,自动停止游戏,故有.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB中点,PC=3PE.
(1)求证:平面ADE⊥平面PBC;
(2)在AC上是否存在一点M,使得MB∥平面ADE?若存在,请确定点M的位置,并说明理由.
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据,问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:
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【题目】已知数列的前项和为,且满足,,设,.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列;
(Ⅱ)若,,求实数的最小值;
(Ⅲ)当时,给出一个新数列,其中,设这个新数列的前项和为,若可以写成(,且,)的形式,则称为“指数型和”.问中的项是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.
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【题目】我们知道,地球上的水资源有限,爱护地球、节约用水是我们每个人的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理,节约水资源,计划确定一个家庭年用水量的标准.为此,对全市家庭日常用水量的情况进行抽样抽查,获得了个家庭某年的用水量(单位:立方米),统计结果如下表及图所示.
分组 | 频数 | 频率 |
25 | ||
0.19 | ||
50 | ||
0.23 | ||
0.18 | ||
5 |
(1)分别求出,的值;
(2)若以各组区间中点值代表该组的取值,试估计全市家庭年均用水量;
(3)从样本中年用水量在(单位:立方米)的5个家庭中任选3个,作进一步的跟踪研究,求年用水量最多的家庭被选中的概率(5个家庭的年用水量都不相等).
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数)曲线的普通方程为,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线的极坐标方程;
(2)射线:依次与曲线和曲线交于、两点,射线:依次与曲线和曲线交于、两点,求的最大值.
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【题目】如图,三棱柱中,平面,,,点在线段上,且,.
(1)试用空间向量证明直线与平面不平行;
(2)设平面与平面所成的锐二面角为,若,求的长;
(3)在(2)的条件下,设平面平面,求直线与平面的所成角.
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