Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．
（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离，转化为两条平行线的距离求解即可；
（2）通过一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点，直接写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，直接写出b的取值范围．

解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，

∵点D在以AB为直径的半圆上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=

2

，
∵AE∥BF，
∴两条射线AE、BF所在直线的距离为

2

．
（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是
b=

2

或-1＜b＜1；
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜

2

．

点评：本题考查直线的距离，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力数形结合思想的应用．