Question

4．已知两条平行直线l₁：$\sqrt{3}$x-y+1=0与l₂：$\sqrt{3}$x-y+3=0．
（1）若直线m经过点（${\sqrt{3}$，4），且被l₁，l₂所截得线段长为2，求直线m的方程；
（2）若直线n与l₁，l₂都垂直，且与坐标轴围成三角形面积是2$\sqrt{3}$，求直线n的方程．

Answer 1

分析 （1）求出l₁、l₂之间的距离，设直线m与l₁所成锐角为θ，求解θ=30°，推出直线m的倾斜角为90°或30°，然后求解直线方程．
（2）求出直线n的斜率是$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，设直线n的方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+b$，利用三角形的面积求解即可．

解答 （1）解：l₁、l₂之间的距离$d=\frac{|3-1|}{{\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（-1）}^2}}}}=1$，
设直线m与l₁所成锐角为θ，则$sinθ=\frac{1}{2}$，∴θ=30°，
直线m的倾斜角为90°或30°　所以，直线m的方程为$x=\sqrt{3}$或$y-4=\frac{{\sqrt{3}}}{3}（x-\sqrt{3}）$
即$x=\sqrt{3}$或$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+3$．
（2）解：直线l₁的斜率是${k_1}=\sqrt{3}$，
∵n⊥l，∴直线n的斜率是$k=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
设直线n的方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+b$，令y=0得$x=\sqrt{3}b$，令x=0得y=b
∴$\frac{1}{2}|\sqrt{3}b|•|b|=2\sqrt{3}$，∴b=±2，
∴直线n的方程为$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+2$或$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-2$．

点评 本题考查直线方程的求法，直线的倾斜角截距式方程的应用，考查计算能力．