Question

9．已知x＞0，y＞0，x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=10，求（x+y）_min．

Answer 1

分析 先设x+y=a，得到$\frac{1}{a}$（x+y）=1，从而有x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=a+$\frac{16}{a}$，进而得到不等式10≥a+$\frac{16}{a}$，解出即可．

解答 解：设x+y=a，显然a＞0，
则$\frac{1}{a}$（x+y）=1，
∴x+y+$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$
=a+$\frac{1}{a}$（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）
=a+$\frac{10}{a}$+$\frac{1}{a}$•2$\sqrt{\frac{9x}{y}•\frac{y}{x}}$
=a+$\frac{16}{a}$，
当且仅当3x=y时“=”成立，
∴10≥a+$\frac{16}{a}$，
∴a²-10a+16≤0，
解得：2≤a≤8．
∴（x+y）_min=2．

点评 本题考查了基本不等式的性质，设x+y=a，得到$\frac{1}{a}$（x+y）=1是解题的关键，是一道中档题．