Question

已知二次函数f (x)=x²+mx+n对任意x∈R，都有f (－x) = f (2＋x)成立，设向量= ( sinx , 2 ) ，

= (2sinx , )，= ( cos2x , 1 )，=(1,2)，

（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；

（Ⅱ）当x∈[0,π]时，求不等式f (·)＞f (·)的解集.

Answer 1

解；（1）设f(x)图象上的两点为A(－x,y₁）、B(2＋x, y₂），因为=1  

   f (－x) = f (2＋x)，所以y₁= y₂

由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，

∴x≥1时，f(x)是增函数 ；x≤1时，f(x)是减函数。

（2）∵·=（sinx，2）·（2sinx, ）=2sin²x＋1≥1，

·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1，

∵f(x)在是[1，+∞）上为增函数，∴f (·)＞f (·)f(2sin²x＋1)＞ f(cos2x＋2)

 2sin²x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2

 cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈z

kπ＋＜x＜kπ＋, k∈z   ∵0≤x≤π      ∴＜x＜

综上所述，不等式f (·)＞f (·)的解集是：{ x|＜x＜ } 。