Question

三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直,，                  ,分别是,的中点．     
（1）求直线MN与平面A₁B₁C所成的角；                    
  （2）在线段AC上是否存在一点E，使得二面角E-B₁A₁-C的余弦值       为?若存在，求出AE的长，若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）90⁰；（2）存在，AE=

（1）本题适合利用空间向量求解.要知道线面角的向量求法.
（2）利用向量的方法在线段AC上的一点E，就要用到向量共线的条件，表示出E的坐标，然后根据二面角的余弦值，确定E坐标中的参数的值，进而可求出AE的长.
解：（1）如图，以B₁为原点建立空间直角坐标系B₁-XYZ

则B₁（0，0，0),C(0,2,2),A₁(2,0,0),B(0,0,2),则M(1,0,2), A(2,0,2)，(0,2,2) ,N(1,1,1)------------2分
=(0,2,2),(0,1,-1),=(2,0,0）
因为 ，且,--------4分
所以MN⊥平面A₁B₁C
即MN与平面A₁B₁C所成的角为90⁰ ------------------5分
（2）设E（x,y，z),且=，    --------------6分
则（x-2,y,z-2)=（-2,2,0)
解得x=2-2,y=2,z=2，=(2-2,2,2) ---------7分
由（1）可知平面的法向量为(0,1,-1)，设平面的法向量为，
则，
则可解得，     ----------------9分  
于是-------11分
由于点E在线段上，所以=，此时AE=    ----------12分