【题目】已知函数,.
(1)记,判断在区间内的零点个数并说明理由;
(2)记在内的零点为,,若()在内有两个不等实根,(),判断与的大小,并给出对应的证明.
【答案】(1)在区间有且仅有唯一实根;
(2),证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)求出,得出函数在上单调递增,在利用零点的存在性定理,即可得到结论;(2)由(1)知,当时,,且存在使得,故时,;当时,,得出因而,根据的单调性,判定出与的大小关系,在给出相应的证明.
试题解析:(1)证明:,定义域为,,
而,故,即在上单调递增,
又,,而在上连续,故根据根的存在性定理有:在区间有且仅有唯一实根
(2)由(1)知,,当时,,且存在使得,故时,;当时,.
因而,
显然当时,,因而单增;当时,,,因而递减;在有两不等实根,,
则,
显然当时,,下面用分析法给出证明.要证:即证,而在上递减,故可证,又由,即证,即,
记,,其中.
,
记,,当时,;时,故,而故,而,从而,因此,
即单增.从而时,即,
故得证
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【题目】长方体中,,,,点,分别在,上,,过,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
(注:图中未标注名称的点均为线段等分点,仅为(1)中作图提供参考.)
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【题目】某校举行数学、物理、化学、生物四科竞赛,甲、乙、丙、丁分别参加其中的一科竞赛,且没有两人参加同一科竞赛.①甲没有参加数学生物竞赛;②乙没有参加化学、生物竞赛;③若甲参加化学竞赛,则丙不参加生物竞赛;④丁没有参加数学、化学竞赛;⑤丙没有参加数学、化学竞赛.若以上命题都是真命题,那么丁参加的竞赛科目是__________.
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【题目】甲、乙、丙三位教师分别在六安一中、二中、一中东校区的三所中学里教不同的学科语文,数学,英语,已知:①甲不在一中工作,乙不在二中工作;②在一中工作的教师不教英语学科;③在二中工作的教师教语文学科;④乙不教数学学科.可以判断乙工作地方和教的学科分别是__________,__________.
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【题目】如图(1)所示,在直角梯形ABCP中,BC∥AP,AB⊥BC,CD⊥AP,AD=DC=PD=2,E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点,现将△PDC折起,使平面PDC⊥平面ABCD(图(2)).
(1)求证:AP∥平面EFG;
(2)若点Q是线段PB的中点,求证:PC⊥平面ADQ;
(3)求三棱锥C-EFG的体积.
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【题目】设集合A={x|x>-1},B={x||x|≥1},则“x∈A且xB”成立的充要条件是( )
A. -1<x≤1 B. x≤1
C. x>-1 D. -1<x<1
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