Question

17．过异于原点的点P（x₀，y₀）引椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的割线PAB，其中点A．B在椭圆上，点M是割线PAB上异于P的一点，且满足$\frac{AM}{MB}$=$\frac{AP}{PB}$．
求证：点M在直线$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1上．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，设$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AP}$=-t$\overrightarrow{PB}$，M（x，y），运用向量的共线的坐标表示，计算
x₀x，y₀y，即可得证．

解答 证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
设$\overrightarrow{AM}$=t$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{AP}$=-t$\overrightarrow{PB}$，M（x，y），
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+t{x}_{2}}{1+t}}\\{y=\frac{{y}_{1}+t{y}_{2}}{1+t}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{{x}_{1}-t{x}_{2}}{1-t}}\\{{y}_{0}=\frac{{y}_{1}-t{y}_{2}}{1-t}}\end{array}\right.$，
即有x₀x=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{t}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{1-{t}^{2}}$，y₀y=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{t}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{1-{t}^{2}}$，
则$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{1-{t}^{2}}$[（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$）-t²（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$）]
=$\frac{1}{1-{t}^{2}}$•（1-t²）=1．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查向量的共线的坐标表示，以及化简整理的能力，属于中档题．