Question

7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC，PD=2PA．
（1）证明：CD⊥平面PAC；
（2）若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB．
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，又由于PC⊥CD故而CD⊥平面PAC；
（2）由（1）知AC⊥CD，由△ABC是等腰直角三角形及直角梯形的性质可求出∠CAD=∠CDA=45°，从而CE⊥AD，故CE∥AB，得出CE∥平面PAB；
（3）由（2）可求得底面梯形ABCD的面积，由PD=2PA及勾股定理可求得PA的长，代入体积公式即可求出体积．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PC⊥CD，PA?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩PC=P，
∴CD⊥平面PAC．
（2）∵CD⊥平面PAC，AC?平面PAC，
∴CD⊥AC，即∠ACD=90°，
∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠CDA=45°，∴△ACD是等腰直角三角形，
∵E是AD中点，∴CE⊥AD，
又∵AB⊥AD，∴CE∥AB，∵AB?平面PAB，CE?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
（3）∵AB∥CE，AD∥BC，AB=BC，AB⊥BC，
∴四边形ABCE是矩形，∴AD=2BC=2，
S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（1+2）×1=$\frac{3}{2}$．
∵PD=2PA，AD=2，PA²+AD²=PD²，∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCD•PA=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，考查数形结合，推理运算能力，属于中档题．