Question

16．若椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$和双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$有相同的焦点F₁，F₂，点P是两条曲线的一个交点，则PF₁•PF₂的值是16．

Answer 1

分析 根据点P为椭圆和双曲线的一个交点，结合椭圆和双曲线的第一定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，解方程，即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．

解答 解：因为椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$和双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$有相同的焦点F₁，F₂，
设P在双曲线的右支上，
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2×5=10①
|PF₁|-|PF₂|=2×3=6②
由①②得：|PF₁|=8，|PF₂|=2．
∴|PF₁|•|PF₂|=16．
故答案为：16．

点评 本题主要考查圆锥曲线的定义、方程和性质，解决本题的关键在于根据椭圆与双曲线有共同的焦点，运用第一定义，考查运算能力，属中档题．