Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{m}=1$的离心率$e∈[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$，则m的取值范围为$（3，\frac{32}{9}]∪[\frac{9}{2}，\frac{16}{3}）$．

Answer 1

分析 利用椭圆的方程，分两种情况求出椭圆的离心率，再根据离心率的范围，求出m的取值范围．

解答 解：当m＞4时，a=$\sqrt{m}$，c=$\sqrt{m-4}$，
椭圆的离心率为：e=$\sqrt{\frac{m-4}{m}}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
解得m∈[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$）；
当0＜m＜4时，a=2，c=$\sqrt{4-m}$，
椭圆的离心率为：e=$\sqrt{\frac{4-m}{4}}$∈[$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
解得m∈（3，$\frac{32}{9}$]；
所以m的范围为：（3，$\frac{32}{9}$]∪[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$）．
故答案为：（3，$\frac{32}{9}$]∪[$\frac{9}{2}$，$\frac{16}{3}$）．

点评 本题考查了椭圆的几何性质与离心率的应用问题，解题时应注意椭圆的长轴位置在x，y轴两种情况，是基础题