Question

1．已知直线l过定点（0，4），且与抛物线x²=4y相交于点A，B，点O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）若△OAB的面积为$12\sqrt{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意设出直线l的方程，和抛物线联立后化为关于x的一元二次方程，由韦达定理得到A，B两点的横坐标的积，代入x₁x₂+y₁y₂中整理得到结果为0，所以结论得证．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线和x轴交点为N，利用S_△OAB=$\frac{1}{2}$|ON|•|x₁-x₂|．求出直线的斜率，然后求出直线方程．

解答 （1）证明：由题意可知直线l的斜率存在，
设其斜率为k，则直线方程为：y=kx+4，
与抛物线方程联立，得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{4y={x}^{2}}\end{array}\right.$，即x²-4kx-16=0，
设交点A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
所以x₁x₂=-16．x₁+x₂=4k，
则y₁y₂=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16=-16k²+16k²+16
可得x₁x₂+y₁y₂=0?OA⊥OB．
所以OA⊥OB．
（2）解：直线l过定点N（0，4），
∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN
=$\frac{1}{2}$|ON||x₁|+$\frac{1}{2}$|ON||x₂|
=$\frac{1}{2}$|ON|•|x₁-x₂|，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•4•$\sqrt{（{{x}_{1}+{x}_{2}）}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=2$\sqrt{16{k}^{2}+64}$．
∵S_△OAB=$12\sqrt{2}$，
∴2$\sqrt{16{k}^{2}+64}$=12$\sqrt{2}$．解得k=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
直线l的方程：y=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x+4．

点评 本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组时，是消去x还是消去y，这要根据解题的思路去确定．当然，这里消去x是最简捷的．