Question

11．设函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$．
（1）证明：f（x）在（1，+∞）上为减函数；
（2）若x＞1时，f（x）＞$\frac{m+1}{x}$恒成立，求整数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可证明；
（2）构造函数令g（x）=xf（x），利用导数求出函数g（x）的最小值，根据函数零点存在定理可知g（x₀）∈（3，4），即可求出整数m的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，x＞1，
∴f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•（x-1）-（1+lnx）}{（x-1）^{2}}$=-$\frac{1+xlnx}{x（x-1）^{2}}$，
∵x＞1，
∴xlnx＞0，
∴f′（x）＜0在（1，+∞）恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数；
（2）∵x＞1时，f（x）＞$\frac{m+1}{x}$恒成立，
∴m+1＜xf（x）在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=xf（x），
∴g′（x）=f（x）+xf′（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$-x•$\frac{1+xlnx}{x（x-1）^{2}}$=$\frac{x-2-lnx}{（x-1）^{2}}$，
令h（x）=x-2-lnx，分别画出y=x-2和y=lnx的图象，如图所示，
∵h（3）=3-2-ln3＜0，h（4）=4-2-ln4=2-ln4＞0，
∴h（x）在（3，4）上存在零点，设零点为x₀，
当g′（x）＞0时，解得x＞x₀，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，解得1＜x＜x₀，函数单调递减，
∴当x=x₀时，g（x）有最小值，
∴g（x₀）=x₀f（x₀）∈（3，4），
∴m+1的最大值为3
∴整数m的最大值为2．

点评 本题考查了函数的单调性和导数的关系以及恒成立的问题，关键是求导，培养学生的化归思想，属于难题．