Question

2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC中点F，连结EF，AF，由直棱柱的结构特征和中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形，故DE∥AF，由等腰三角形的性质可得AF⊥BC，故DE⊥BC；
（2）把△BCE看做棱锥的底面，则DE为棱锥的高，求出棱锥的底面积和高，代入体积公式即可求出．

解答 证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EF△BCB₁的中位线，∴EF∥BB₁，EF=$\frac{1}{2}$BB₁，
∵AD∥BB₁，AD=$\frac{1}{2}$BB₁，∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，
∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．
（2）∵BB₁⊥平面ABC，AF?平面ABC，∴BB₁⊥AF，
又∵AF⊥BC，BC?平面BCC₁B₁，BB₁?平面BCC₁B₁，BC∩BB₁=B，
∴AF⊥平面BCC₁B₁，∴DE⊥平面BCC₁B₁，
∵AC=5，BC=6，∴CF=$\frac{1}{2}BC$=3，∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=4，∴DE=AF=4
∵BC=BB₁=6，∴S_△BCE=$\frac{1}{4}B{C}^{2}$=9．
∴三棱锥E-BCD的体积V=$\frac{1}{3}$S_△BCE•DE=$\frac{1}{3}×9×4$=12．

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．