Question

10．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，平面ABCD丄平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；
（Ⅱ）求由顶点ABCDEG所围成的几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）取BE中点H，连结DH，则可证四边形ADHG为平行四边形，从而得到AG∥DH，推出AG∥平面BDE；
（2）将几何体分解成三棱锥A-BEG和四棱锥E-ABCD，分别求出他们的体积即可．

解答 证明：（I）过G作GF⊥CE交BE于H，连结DH，则四边形BCFG是矩形，∴CF=BG，∴F是CE的中点，H是FG的中点，
∴HG=$\frac{1}{2}BC$，HG∥BC，∵AD∥BC，AD=$\frac{1}{2}BC$，
∴AD=HG，AD∥HG，∴四边形ADHG是平行四边形，
∴AG∥DH，∵DH?平面BDE，AG?平面BDE，
∴AG∥平面BDE．
（II）连结AE，∵平面ABCD丄平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，∠BCD=∠BCE=$\frac{π}{2}$，
∴CE⊥平面ABCD，DC⊥平面BCEG，
∴由顶点ABCDEG所围成的几何体的体积V=V_棱锥E-ABCD+V_棱锥A-BEG
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，空间几何体的体积计算，属于中档题．