Question

1．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），若M是曲线C₁上的一点，点P在曲线C₂上任一点，且满足$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$．
（1）试求曲线C₂的普通方程；
（2）以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l：ρsinθ-ρcosθ-7=0，在直线l上两动点E，F，满足|EF|=4$\sqrt{2}$，试求△MEF的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接结合圆的参数方程化为普通方程，然后，结合向量关系，确定令一曲线的普通方程即可；
（2）首先，将所给的直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，结合直线与圆的位置关系，确定其最大值即可．

解答 解：（1）根据曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosθ}\\{y=2+\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），得
（x-1）²+（y-2）²=2，
设M（x₀，y₀），点P（x，y），则
（x₀-1）²+（y₀-2）²=2，
$\overrightarrow{OP}$=（x，y），$\overrightarrow{OM}$=（x₀，y₀），
∵$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}_{0}}\\{y=3{y}_{0}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{x}{3}}\\{{y}_{0}=\frac{y}{3}}\end{array}\right.$，
∴（x-3）²+（y-6）²=18，
∴曲线C₂的普通方程：（x-3）²+（y-6）²=18，
（2）根据直线l：ρsinθ-ρcosθ-7=0，得
x-y+7=0，
∵S_△MEF=$\frac{1}{2}$|EF|×d（d为M到直线EF的距离），
d的最大值为$\sqrt{2}$+$\frac{|1-2+7|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
此时（S_△MEF）max=$\frac{1}{2}$|EF|×d=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×4$\sqrt{2}$=16．
∴△MEF的最大值16．

点评 本题综合考查了直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、圆的参数方程等知识，属于中档题．