Question

16．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面ABEF⊥平面ABCD，∠ACD=90°，AB=2，AD=4，ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，AN⊥CF，垂足为N．
（1）求证：AN⊥平面CDF；
（2）求三棱锥B-CEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由平面ABEF⊥平面ABCD可知AF⊥平面ABCD，从而AF⊥CD，结合AC⊥CD可得CD⊥平面AFC，故而CD⊥AN，又AN⊥CF，可证AN⊥平面CDF；
（2）由平面ABEF⊥平面ABCD可知AC⊥平面ABEF，即AC为棱锥C-BEF的高，由勾股定理求出AC，代入体积计算即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABEF为正方形，∴AB⊥AF，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴CD⊥AF，
∵∠ACD=90°，∴CD⊥AC，
又∵AF?平面AFC，AC?平面AFC，AF∩AC=A，
∴CD⊥平面AFC，∵AN?平面AFC，
∴CD⊥AN，又∵AN⊥CF，CF?平面CDF，CD?平面CDF，CF∩CD=C，
∴AN⊥平面CDF．
（2）∵AB∥CD，AC⊥CD，∴AC⊥AB，
又∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面ABEF，
∵CD=AB=2，AD=4，∠ACD=90°，∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴三棱锥B-CEF的体积V=$\frac{1}{3}$S_△BEF•AC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}$×2$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．