Question

7．已知函数f（x）=ax³+$\frac{3}{2}$x²sinθ-6x+1，且对任意的实数t，恒有f′（-e${\;}^{{t}^{2}}$）≥0，f′（3|cost|-1）≤0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对?x₁，x₂∈[0，3]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤10．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，根据条件，建立方程或不等式结合三角函数的有界性即可求函数f（x）的解析式；
（2）对?x₁，x₂∈[0，3]，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤10等价为：|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，利用导数求出函数的最值即可．．

解答 解：（1）函数的导数f′（x）=3ax²+3xsinθ-6，
∵-e${\;}^{{t}^{2}}$≤-1，∵3|cost|-1∈[2，4]，
∴对任意的实数t，恒有f′（-e${\;}^{{t}^{2}}$）≥0，f′（3|cost|-1）≤0．
∴当t=0时，f′（-e${\;}^{{t}^{2}}$）=f′（-1）≥0，
当cost=0时，f′（3|cost|-1）=f′（-1）≤0，即f′（-1）=0，
∴等价为$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f′（2）≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=3a-3sinθ-6=0}\\{12a+6sinθ-6≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-sinθ-2=0}\\{2a+sinθ-1≤0}\end{array}\right.$，
消去a或sinθ得3sinθ≤-3，
∴sinθ=-1，a=1，
则f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+1．
（2）f′（x）=3x²-3x-6=3（x+1）（x-2），
由f′（x）=0，则x=-1或x=2．
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化如表：

x	0	（0，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		-		+
f（x）	1	递减	-9	递增	-$\frac{7}{2}$

则函数在[0，3]上的f（x）_max=1，f（x）_min=-9，
则：|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=|1-（-9）|=10．
即|f（x₁）-f（x₂）|≤10成立．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数最值的求解，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键．