Question

11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一点A（2，$\sqrt{2}$），点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线l交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，k_AB+k_AC=0．

Answer 1

分析 设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由题意可设直线BC的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由OA的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可设直线BC的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，
代入椭圆的方程可得x²+$\sqrt{2}$tx+t²-4=0，
即有x₁+x₂=-$\sqrt{2}$t，x₁x₂=t²-4，
k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}+t-\sqrt{2}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{2}+t-\sqrt{2}}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{\sqrt{2}{x}_{1}{x}_{2}-\sqrt{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+（t-\sqrt{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-4）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
由$\sqrt{2}$x₁x₂-$\sqrt{2}$（x₁+x₂）+（t-$\sqrt{2}$）（x₁+x₂-4）
=$\sqrt{2}$（t²-4）+2t+（t-$\sqrt{2}$）（-$\sqrt{2}$t-4）=0，
可得k_AB+k_AC=0，
故答案为：0．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率公式的运用，以及化简整理的运算求解能力，属于中档题．