Question

1．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
（1）若直线AB过焦点F，求|AF|•|BF|的值；
（2）是否存在实数p，使得以线段AB为直径的圆过Q点？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出p=4，可得抛物线方程，与直线y=2x+2联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理，通过|AF||BF|=（y₁+2）（y₂+2）求解即可．
（2）假设存在，由抛物线x²=2py与直线y=2x+2联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过△＞0，以及韦达定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），
方法一利用弦长公式$且|{PQ}|=\frac{1}{2}|{AB}|$，求出p．
方法二：通过$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$化简，结合韦达定理，求解p即可．

解答 解：（1）∵F（0，2），p=4，∴抛物线方程为x²=8y，…（1分）
与直线y=2x+2联立消去y得：x²-16x-16=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（2分）
则x₁+x₂=16，x₁x₂=-16，…（3分）
∴|AF||BF|=（y₁+2）（y₂+2）=（2x₁+4）（2x₂+4）=80；…（6分）
（2）假设存在，由抛物线x²=2py与直线y=2x+2联立消去y得：x²-4px-4p=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△＞0，则x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p，…（7分）
P（2p，4p+2），Q（2p，2p），…（8分）
方法一∴|PQ|=2p+2，…（9分）
$又∵|{AB}|=\sqrt{5}•\sqrt{{{（4p）}^2}+16p}=4\sqrt{5}•\sqrt{{p^2}+p}$…（10分）
$且|{PQ}|=\frac{1}{2}|{AB}|$，
∴4p²+3p-1=0，
$p=\frac{1}{4}或p=-1（舍）$…（11分）
故存在p=$\frac{1}{4}$且满足△＞0…（12分）
方法二：由$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$得：（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0…（9分）
即（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（x₂+2-2p）=0，…（10分）
∴$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$，…（11分）
代入得4p²+3p-1=0，$p=\frac{1}{4}或p=-1（舍）$．
故存在p=$\frac{1}{4}$且满足△＞0，
∴p=$\frac{1}{4}$    …（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆锥曲线的综合应用，考查转化思想以及计算能力．