Question

1．垂直于直线x+y=0的直线l交椭圆$\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1于M、N，且|MN|=2，求直线的方程．

Answer 1

分析 由条件可设直线l的方程为y=x+b，带入椭圆方程便可得到5x²+2bx+b²-4=0，可设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），从而有${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}-4}{5}$，根据弦长公式便可得到$|MN|=\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{b}^{2}}=2$，解出b值，从而便可得出直线l的方程．

解答 解：根据条件设l的方程为：y=x+b，带入椭圆的方程并整理得：
5x²+2bx+b²-4=0；
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则：${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2b}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}-4}{5}$；
∴$|MN|=\sqrt{2}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{4{b}^{2}}{25}-\frac{4（{b}^{2}-4）}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}•\sqrt{5-{b}^{2}}=2$；
∴解得$b=±\frac{\sqrt{30}}{4}$；
∴直线l的方程为$y=x+\frac{\sqrt{30}}{4}$，或$y=x-\frac{\sqrt{30}}{4}$．

点评 考查直线垂直时斜率的关系，直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，以及韦达定理，弦长公式．