Question

9．已知函数f（x）=alnx-2x²，a为正常数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为a＜2x²-x在（1，+∞）恒成立，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-4x=$\frac{a-{4x}^{2}}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{a}}{2}$）递增，在（$\frac{\sqrt{a}}{2}$，+∞）递减；
（2）若对任意x₁，x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜-1，
即若对任意x₁，x₂∈（1，+∞），x₁≠x₂，都有f′（x）=$\frac{a}{x}$-2x＜-1，
∴a＜2x²-x在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x²-x=2${（x-\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{1}{8}$，
∴g（x）_min=g（1）=1，
∴a＜1．

点评 本题考察了导数的应用，考察函数的单调性问题，考察函数恒成立问题，是一道中档题．