Question

11．底面为正六边形的六棱锥P-ABCDE，$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{HC}$，记三棱锥G-PAH的体积为V₁，三棱锥H-PAE的体积为V₂，则V₁：V₂是$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 不妨设PA与底面垂直，PA=a，底面边长为1，根据G，H的位置和正六边形的性质求出V₁和V₂，

解答 解：不妨设PA与底面垂直，PA=a，底面边长为1，连结AC，AE，过B作BM⊥AC，过C作CN⊥AE，垂足分别是M，N．
则AC=AE=$\sqrt{3}$，BM=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{3}{2}$．
∵$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{GB}$，$\overrightarrow{PH}$=$\overrightarrow{HC}$，∴H到PA的距离为$\frac{1}{2}AC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，G到平面PAH的距离为$\frac{1}{3}$BM=$\frac{1}{6}$．H到平面PAE的距离为$\frac{1}{2}CN$=$\frac{3}{4}$．
∴V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a×\frac{1}{6}$=$\frac{\sqrt{3}a}{72}$，V₂=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\frac{3}{4}$=$\frac{\sqrt{3}a}{8}$．∴V₁：V₂=$\frac{1}{9}$．
故答案为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．