Question

16．已知椭圆方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a$＞b＞0）的左右顶点为A，B，右焦点为F，若椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，且离心率为方程2x²-5x+2=0的根，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点P为椭圆上任一点，连接AP，PB并分别延长交直线l：x=4于M，N两点，求线段MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）由离心率为方程2x²-5x+2=0的根，求出e，再由题意列a，b，c的等量关系列出方程组，求解即可得到椭圆的标准方程；
（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得P点的坐标，又B（2，0），直线PB的斜率为$-\frac{3}{4k}$，求出PB直线方程为：$y=-\frac{3}{4k}（x-2）$，进一步求出M，N点的坐标，则线段MN的最小值可求．

解答 解：（1）∵2x²-5x+2=0的根为x=2或x=$\frac{1}{2}$，又离心率e∈（0，1），∴x=2舍去．
由题意列a，b，c的等量关系为：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=3}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意知直线AP，PB的斜率都存在，设P（m，n），设直线AP斜率为k，AP直线方程为：y=k（x+2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得：（3+4k²）x²+16k²x+（16k²-12）=0，
则x₁=-2，x₂=m是其方程的两个根，∴-2m=$\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
∴$m=\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，代入y=k（x+2），
得$n=\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，∴$P（\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，\frac{12}{3+4{k}^{2}}）$，
又B（2，0）∴直线PB的斜率为$-\frac{3}{4k}$，
∴PB直线方程为：$y=-\frac{3}{4k}（x-2）$，
又直线AP，BP与直线x=4相交于M，N两点，
∴$M（4，6k），N（4，-\frac{3}{2k}）$，$MN=|{6k}|+|{-\frac{3}{2k}}|$$≥2\sqrt{|{6k}|•|{-\frac{3}{2k}}|}=6$，
当且仅当$|{6k}|=|{-\frac{3}{2k}}|$时“=”成立，解得$k=±\frac{1}{2}$满足题意，
∴线段MN的最小值为6．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的标准方程的求法，解答此题的关键是仔细计算，是中档题．