Question

8．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F，定点A（$\frac{5}{3}$a，0），在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 由题意知|FP|=|FA|=$\frac{5}{3}$a-c，从而可得$\frac{5}{3}$a-c∈[a-c，a+c]，从而解得．

解答 解：∵线段AP的垂直平分线过点F，
∴|FP|=|FA|=$\frac{5}{3}$a-c，
又∵|FP|∈[a-c，a+c]，
∴$\frac{5}{3}$a-c∈[a-c，a+c]，
∴a≤3c，
∴$\frac{1}{3}$≤e＜1，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义的应用及椭圆的几何性质的应用，同时考查了转化的思想应用．