Question

11．在平面直角坐标系xOy中，设点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），定义：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|． 已知点B（1，0），点M为函数y=e^x上的动点，则使d（B，M）取最小值时点M的坐标是（0，1）．

Answer 1

分析 根据新定义的概念，求出d（B，M）的表达式，构造函数f（x）=|x-1|+e^x，利用分段函数求出f（x）的最小值以及最小值对应的点M的坐标．

解答 解：∵B（1，0），点M为函数y=e^x上动点，设M（x，y），则
d（B，M）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x-1|+|e^x-0|=|x-1|+e^x；
设f（x）=|x-1|+e^x，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}+x-1，x≥1}\\{{e}^{x}-x+1，x＜1}\end{array}\right.$，
当x≥1时，f′（x）=e^x+1≥0，f（x）是单调增函数，且f（x）有最小值f（1）=e；
当x＜1时，f′（x）=e^x-1，且f′（0）=0；
在x＜0时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数，
0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数，∴有最小值f（0）=2；
综上，f（x）的最小值为2，此时对应点为M（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查了新定义的求两点间的距离最小值的应用问题，是综合性题目．