Question

6．已知函数y=f（x）的图形如图所示，给出y=f（x）与x=10和x轴所围成图形的面积估计值；要想得到误差不超过1的面积估计值，可以怎么做？

Answer 1

分析 设f（x）=ax³+bx²+cx+d，利用待定系数法确定函数关系式，利用定积分求出面积估计值；若要误差小可分段求出f（x）的解析式，然后使用定积分求出面积．

解答 解：设f（x）=ax³+bx²+cx+d，则f′（x）=3ax²+2bx+c，
由图象可知$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（1）=1}\\{f′（4）=0}\\{f′（7）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{a+b+c=0}\\{\frac{c}{3a}=28}\\{-\frac{2b}{3a}=11}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{137}}\\{b=-\frac{33}{137}}\\{c=\frac{168}{137}}\\{d=0}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{2}{137}$x³-$\frac{33}{137}$x²+$\frac{168}{137}$x．
∴S=${∫}_{0}^{10}$f（x）dx=（$\frac{2}{137}×\frac{{x}^{4}}{4}$-$\frac{33}{137}$×$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{168}{137}$×$\frac{{x}^{2}}{2}$）|$\left.\begin{array}{l}{10}\\{0}\end{array}\right.$≈17.5．
若要想得到误差不超过1的面积估计值，
可使用分段函数求出f（x）的解析式，然后使用定积分求出面积．

点评 本题考查了定积分在求面积中的应用，求出f（x）的解析式是关键．