Question

17．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C₁：ρ=2cosθ-4sinθ，C₂：ρsinθ-2ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）将C₁的方程化为普通方程；
（Ⅱ）求曲线C₁与C₂两交点之间的距离．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出；
（II）由C₂：ρsinθ-2ρcosθ+1=0，化为2x-y-1=0．求出圆心C₁到直线的距离d．利用曲线C₁与C₂两交点之间的距离=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：（I）C₁：ρ=2cosθ-4sinθ，∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，∴x²+y²=2x-4y，配方为（x-1）²+（y+2）²=5，可得圆心C₁（1，-2），半径r=$\sqrt{5}$．
（II）由C₂：ρsinθ-2ρcosθ+1=0，化为y-2x+1=0，即2x-y-1=0．
∴圆心C₁到直线的距离d=$\frac{|2-（-2）-1|}{\sqrt{{2}^{2}}+（-1）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴曲线C₁与C₂两交点之间的距离=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的相交问题、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．