Question

9．已知长为l（l≥1）的线段AB的两个端点在抛物线y=x²上滑动，则线段AB的中点M到x轴的距离的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设抛物线焦点为F，则AF+BF≥AB≥1，利用抛物线的性质将AF，BF转化为A，B到准线的距离来表示，得出A，B两点纵坐标的关系．

解答 解：抛物线y=x²的准线方程为y=-$\frac{1}{4}$，焦点坐标为F（0，$\frac{1}{4}$），
设A点纵坐标为y₁，B点纵坐标为y₂，则线段AB的中点M到x轴的距离为$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$．
∵A到准线的距离为y₁+$\frac{1}{4}$=AF，B到准线的距离为y₂+$\frac{1}{4}$=BF，
∵AF+BF≥AB≥1，∴y₁+$\frac{1}{4}$+y₂+$\frac{1}{4}$≥1，∴y₁+y₂≥$\frac{1}{2}$．∴$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$≥$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了抛物线的性质，用A，B两点的纵坐标表示出到焦点的距离是解题关键，属于中档题．