Question

4．已知（1+2x）ⁿ=$\sum_{k=0}^{n}$${C}_{n}^{k}$（2x）^k=$\sum_{k=0}^{n}$α_kx^h（n∈N₊），（1+2x）ⁿ的展开式中末三项的二项式系数的和为92，判断展开式系数组成的数列a₀、a₁，…，a_n的单调性，并求其最大项．

Answer 1

分析 利用二项式系数为C_n^r，列出方程求出n值，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，利用展开式中最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数求出展开式中系数最大的项．

解答 解：∵末三项的二项式系数分别为C_n^n-2，C_n^n-1，C_nⁿ
∴C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ=92
∴C_n²+C_n¹+C_n⁰=92即n²+n-182=0
∴n=13或n=-14（舍）
∴T_r+1=C₁₃^r（2x）^r=C₁₃^r2^rx^r
设第r+1项与第r项的系数分别为t_r+1，t_r
令t_r+1=C₁₃^r2^r，t_r=C₁₃^r-12^r-1
∴t_r+1≥t_r则可解得r≤8
∴当r取小于8的自然数时，都有t_r＜t_r+1当13≥r≥9时，t_r+1＜t_r
即展开式系数组成的数列a₀、a₁，…，a_n的单调性先单调递增，再单调递减，
展开式中系数最大的项为T₈=C₁₃⁷2⁷x⁷

点评 本题考查二项展开式中的系数最大的项的求法：利用最大的系数大于它前面的系数同时大于它后面的系数来求．