Question

1．已知sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosβ=$-\frac{1}{3}$，且tanα•tanβ＞0，则cos（α-β）的值是（　　）

• A． -$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$
• B． -$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
• C． $\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$
• D． ±$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数基本关系式可得cosα=±$\frac{1}{2}$，sinβ=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，结合tanα•tanβ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sinβ}{-\frac{1}{3}cosα}$＞0，分类讨论，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．

解答 解：∵sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosβ=$-\frac{1}{3}$，
∴cosα=±$\frac{1}{2}$，sinβ=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∵tanα•tanβ=$\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}sinβ}{-\frac{1}{3}cosα}$＞0，
∴当cosα=$\frac{1}{2}$时，sinβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}×（-\frac{1}{3}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\frac{2\sqrt{2}}{3}）$=-$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$，
当cosα=-$\frac{1}{2}$时，sinβ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-$\frac{1}{2}×（-\frac{1}{3}）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．