Question

10．已知：$\overrightarrow{a}$=（2cosx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，2cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\sqrt{3}$（x∈R）求：
（1）f（x）的最小正周期及最值；
（2）f（x）的对称轴及单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）使用向量的数量积公式得出f（x）并化简，利用正弦函数的性质得出f（x）的周期和最值；
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$解出f（x）的对称轴，令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$解出f（x）的增区间．

解答 解：（1）f（x）=2$\sqrt{3}$cos²x+2sinxcosx-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cos2x+sin2x-$\sqrt{3}$=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，f（x）的最大值为2，f（x）的最小值为-2．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$得x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，∴f（x）的对称轴为x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ，∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的性质，属于中档题．