Question

5．已知直线y=x+b与两曲线C₁：x²+y²-|x|-|y|=0和C₂：x²+y²-|x|-|y|=$\frac{1}{2}$仅有两个交点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）
• C． （-1-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）∪（-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）
• D． （-1-$\sqrt{2}$，-2）∪（2，1+$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 分类讨论，利用直线与圆相切，求出b的值，即可得出结论．

解答 解：由题意，x＜0，y＞0时，两曲线C₁：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$和C₂：（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=1，
直线y=x+b曲线C₁与相切，圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=±2，
直线y=x+b曲线C₂与相切，圆心到直线的距离d=$\frac{|-1+b|}{\sqrt{2}}$=1，b=1±$\sqrt{2}$，
仅有两个交点，此时2＜b＜1+$\sqrt{2}$．
根据对称性，x＞0，y＜0时，仅有两个交点，此时-1-$\sqrt{2}$＜b＜-2．
综上所述，-1-$\sqrt{2}$＜b＜-2或2＜b＜1+$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．