Question

5．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，相邻两对称轴间的距离为π，若将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，所得的函数y=g（x）为奇函数．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的方程2[g（x）]²-m[g（x）]+1=0在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）令t=g（x），则方程2t²-mt+1=0有2个[0，1]内的实数根，显然t≠0，故函数y=2t+$\frac{1}{t}$ 的图象和直线y=m在t∈（0，1]内有2个交点，数形结合求得m的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
相邻两对称轴间的距离为π，
故$\frac{2π}{ω}$=2π，∴ω=1，f（x）=sin（x+φ），
将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得到y=sin（x-$\frac{π}{6}$+φ），
再根据所得函数为奇函数，可得-$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴g（x）=sinx，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）若关于x的方程2[g（x）]²-m[g（x）]+1=0在
区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不相等的实根，
令t=g（x）=sinx，则方程2t²-mt+1=0有两个[0，1]
内的实数根，显然t=0时，方程不成立，故t≠0．
故有函数y=2t+$\frac{1}{t}$ 的图象和直线y=m在t∈（0，1]内有2个交点．
由y=2t+$\frac{1}{t}$，t∈（0，1]，函数y在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递减，在[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]上单调递增，
当t趋于0时，y趋于正无穷大；当t趋于1时，y趋于3，当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y=2$\sqrt{2}$，
画出y=2t+$\frac{1}{t}$，t∈（0，1]的图象（如图红色部分），如图所示：
故有2$\sqrt{2}$＜m≤3．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，方程根的存在性以及个数判断，属于基础题．