Question

7．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5得数据如下表：

时间	周一	周二	周三	周四	周五
车流量x（万辆）	50	51	54	57	58
PM2.5的浓度y（微克/立方米）	69	70	74	78	79

（Ⅰ）根据上表数据求出y与x的线性回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$，
（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的浓度是多少？（保留整数）
参考公式其中$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$：方程$\hat y=\hat bx+\hat a$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$与$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）和$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$的值，求出$\stackrel{∧}{b}$与$\stackrel{∧}{a}$，写出线性回归方程；
（Ⅱ）计算x=25时$\stackrel{∧}{y}$的值，即可预测出PM2.5的浓度．

解答 解：（Ⅰ）根据表中数据，得；
$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（50+51+54+57+58）=54，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（69+70+74+78+79）=74，…（2分）
$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=4×5+3×4+3×4+4×5=64，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-4）²+（-3）²+3²+4²=50，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{64}{50}$=1.28，…（4分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=74-1.28×54=4.88，…（6分）
故y关于x的线性回归方程是：$\stackrel{∧}{y}$=1.28x+4.88；…（8分）
（Ⅱ）当x=25时，$\stackrel{∧}{y}$=1.28×25+4.88=36.88≈37，
所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．