Question

17．某学校团委组织了“文明出行，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（单位：分）整理后，得到如下频率分布直方图（其中分组区间为[40，50），[50，60），…，[90，100]），已知成绩在[50，60 ）的学生有9人，
（1）求成绩在[70，80）的学生人数，并补全此频率分布直方图；
（2）求这次考试平均分的估计值；
（3）若从成绩在[40，50）和[90，100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．

Answer 1

分析 （1）利用频率分布直方图的意义可得：第二小组的频率，第四小组的频率=1-（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10．
（2）利用频率分布直方图的意义可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10．
（3）[40，50）与[90.100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A₁，A₂，A₃，将[90，100]分数段的3人编号为B₁，B₂，B₃，从中任取两人，可得基本事件构成集合Ω共有36个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为6个，利用古典概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）第二小组的频率为$\frac{9}{60}$=0.15，第四小组的频率=1-（0.005+0.015+0.020+0.030+0.005）×10=0.25．
（2）依题意可得：平均数=（45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.025+85×0.030+95×0.005）×10=72.5，
（3）[40，50）与[90，100]的人数分别是3和3，所以从成绩是[40，50）与[90，100]的学生中选两人，将[40，50]分数段的6人编号为A₁，A₂，A₃，将[90，100]分数段的3人编号为B₁，B₂，B₃，从中任取两人，则基本事件构成集合Ω={（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，B₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）}共有15个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₂，A₃），（B₁，B₂），（B₁，B₃），（B₂，B₃）共6个，故概率P=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用、列举法求古典概率及其计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．