Question

9．设$n=\int_0^{\frac{π}{2}}{4sinxdx}$，则二项式${（{x-\frac{2}{x}}）^n}$的展开式的常数项是24．

Answer 1

分析 先利用定积分求出n=4，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．

解答 解：∵$n=\int_0^{\frac{π}{2}}{4sinxdx}$=-4cosx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=0+4=4，则二项式${（{x-\frac{2}{x}}）^n}$=${（x-\frac{2}{x}）}^{4}$ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{4}^{r}$•x^4-r•${（-\frac{2}{x}）}^{r}$=${C}_{4}^{r}$•（-2）^r•x^4-2r，
令4-2r=0，求得r=2，可得常数项为 ${C}_{4}^{2}$•4=24，
故答案为：24．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．