Question

1．已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，点P为DD₁的中点，Q为BC边上的一点．
（I）若PQ∥面A₁ABB₁，求出PQ的长；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥面PBC．

Answer 1

分析 （I）取AA₁的中点M，连接BM，PM，由P，M分别为D₁D，A₁A的中点，可得PM∥BC，由PQ∥面A₁ABB₁，可得PQ∥BM，可得PQ=BM，在Rt△BAM中，利用勾股定理即可解得PQ=BM的值．
（Ⅱ）先证明AA₁⊥BC，AB⊥BC，即可证明AB₁⊥BC，利用△ABM≌△A₁B₁A，可得：AB₁⊥BM，从而可判定AB₁⊥面PBC．

解答 （本题满分为12分）
解：（I）取AA₁的中点M，连接BM，PM，
∵P，M分别为D₁D，A₁A的中点，
∴PM∥AD，∴PM∥BC，
∴PMBC四点共面，…2分
由PQ∥面A₁ABB₁，可得PQ∥BM，
∴PMBQ为平行四边形，PQ=BM，…4分
在Rt△BAM中，BM=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$．
可得：PQ=BM=2$\sqrt{5}$．…6分
（Ⅱ）AA₁⊥面ABCD，BC?面ABCD，
∴AA₁⊥BC，
∵ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，
∴BC⊥面AA₁BB₁，
∵AB₁?面AA₁BB₁，
∴AB₁⊥BC，…8分
通过△ABM≌△A₁B₁A，可得：AB₁⊥BM，…10分
∵BM∩BC=B，
∴AB₁⊥面PBC．…12分

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．属于中档题．