Question

11．设A为不等式log₂（5x²-8x+3）＞2的解集，B为不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-k}$≥$\frac{1}{2}$的解集．
（1）求集合A，B；
（2）如果A⊆B，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据指数函数和对数函数的单调性，可将原不等式转化为整式不等式，解得A，B；
（2）根据（1）中结论，分类讨论满足A⊆B的实数k的取值范围，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）若log₂（5x²-8x+3）＞2，则5x²-8x+3＞4，即5x²-8x-1＞0，
解得：A=（-∞，$\frac{4-\sqrt{21}}{5}$）∪（$\frac{4+\sqrt{21}}{5}$，+∞）；
若2${\;}^{{x}^{2}-2x-k}$≥$\frac{1}{2}$，则x²-2x-k≥-1，即x²-2x+1-k≥0，
当k≤0时，B=R；
当k＞0时，B=（-∞，1-$\sqrt{k}$]∪[1+$\sqrt{k}$，+∞）；
（2）当k≤0时，B=R，满足A⊆B，
当k＞0时，B=（-∞，1-$\sqrt{k}$]∪[1+$\sqrt{k}$，+∞），由A⊆B得：$\left\{\begin{array}{l}1-\sqrt{k}≥\frac{4-\sqrt{21}}{5}\\ 1+\sqrt{k}≤\frac{4+\sqrt{21}}{5}\end{array}\right.$
解得：0＜k≤$\frac{22-2\sqrt{21}}{25}$，
故k≤$\frac{22-2\sqrt{21}}{25}$．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质是解答的关键．