Question

17．已知直线l过点P（0，1）且与（x-1）²+y²=4相交于A、B两点，求当|AB|取最小值时l的方程以及|AB|的最小值．

Answer 1

分析 由题意得，点在圆的内部，故当弦AB和点P（0，1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，弦AB最短，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程，再化为一般式，利用勾股定理求出|AB|的最小值．

解答 解：因为点P（0，1）到圆心（1，0）的距离等于$\sqrt{2}$，小于半径，故此点在圆（x-1）²+y²=4的内部，
故当弦AB和点P（0，1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，弦AB最短．
弦AB的斜率为1，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y-1=x-0，
即x-y+1=0，
|CP|=$\sqrt{2}$，∴|AB|的最小值为2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点与圆的位置关系的判断，以及用点斜式求直线的方程．