Question

8．已知等腰△ABC的底边AB所在的直线方程为$\sqrt{3}$x-y+2=0，顶点C的坐标是（2，2），顶角为120°，求两腰所在的直线方程及△ABC的面积．

Answer 1

分析 本题数据特殊，可用特殊方法求解．

解答 解：底边AB所在直线方程为根号$\sqrt{3}$x-y+2=0，可见该直线的斜率=$\sqrt{3}$，即倾斜角60°．
过C作高CH，则CH与x轴夹角=150°，即斜率-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
顶角为120°，C为顶点，ABC等腰三角形，则∠ACH=∠BCH=60°．
则由平面几何得：AC与x轴夹角为30°，BC⊥x轴．
于是：AC所在直线方程：y-2=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）； BC所在直线方程：x=2．
由点C（2，2）到直线$\sqrt{3}$x-y+2=0的距离CH=$\sqrt{3}$，则AH=$\frac{\sqrt{3}}{tan30°}$=3，AB=2AC=6，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线方程，考查三角形面积的计算，正确求出直线的斜率是关键．