Question

12．已知函数f（x）=-x²+2x．则不等式f（log₂x）＜f（2）的解集为（4，+∞）∪（0，1）．

Answer 1

分析 由题意可得|2-1|＜|log₂x-1|，即|log₂x-1|＞1，然后求解绝对值的不等式和对数不等式得x的范围．

解答 解：函数f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1 的图象关于直线x=1对称，且开口向下，
则由不等式f（log₂x）＜f（2），可得|2-1|＜|log₂x-1|，即|log₂x-1|＞1，
得log₂x-1＞1，或log₂x-1＜-1．
解得x＞4，或0＜x＜1，
故答案为：（4，+∞）∪（0，1）．

点评 本题主要考查二次函数的性质，绝对值不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．