Question

7．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数）（p＞0），直线l经过曲线C外一点A（-2，-4）且倾斜角为$\frac{π}{4}$．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C分别交于M₁，M₂，若|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比数列，求p的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数）（p＞0），消去t可得普通方程．利用点斜式可得直线l的参数方程．
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）t$+8p+32=0，可得t₁+t₂=$8\sqrt{2}+2\sqrt{2}$p，t₁t₂=8p+32.0＜t₁＜t₂．不妨设|AM₁|=t₁，|M₁M₂|=t₂-t₁，|AM₂|=t₂，则|M₁M₂|=t₂-t₁=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．由于|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比数列，可得$|{M}_{1}{M}_{2}{|}^{2}$=|AM₁|×|AM₂|．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数）（p＞0），消去t可得：y²=2px．
直线l经过曲线C外一点A（-2，-4）且倾斜角为$\frac{π}{4}$，可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$．
（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t²-$（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）t$+8p+32=0，
∴t₁+t₂=$8\sqrt{2}+2\sqrt{2}$p，t₁t₂=8p+32.0＜t₁＜t₂．
不妨设|AM₁|=t₁，|M₁M₂|=t₂-t₁，|AM₂|=t₂，
则|M₁M₂|=t₂-t₁=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（8\sqrt{2}+2\sqrt{2}p）^{2}-4（8p+32）}$=$\sqrt{8{p}^{2}+32p}$．
∵|AM₁|，|M₁M₂|，|AM₂|成等比数列，
∴$|{M}_{1}{M}_{2}{|}^{2}$=|AM₁|×|AM₂|，
∴8p²+32p=8p+32，
化为p²+3p-4=0，p＞0．
解得p=1．

点评 本题考查了参数方程转化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、直线与抛物线相切交问题、参数方程的应用、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．