Question

2．设D是函数y=f（x）定义域内的一个子集，若存在x₀∈D，使得f（x₀）=-x₀成立，则称x₀是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．设函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（4^x+a•2^x-1），x∈[0，1]．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的次不动点
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，1]上不存在次不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，根据所给a的值，代入后，结合次不动点的概念建立等式，然后，结合幂的运算性质，求解即可；
（Ⅱ）首先，得log${\;}_{\frac{1}{2}}$（4^x+a•2^x-1）=-x在[0，1]上无解，然后，利用换元法进行确定其范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）$，
依题，得$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）$=-x，
∴4^x+2^x-1=$（\frac{1}{2}）^{-x}$，
∴4^x+2^x-1=2^x，
∴4^x=1，
∴x=0，
∴函数f（x）的次不动点为0；
（Ⅱ）根据已知，得log${\;}_{\frac{1}{2}}$（4^x+a•2^x-1）=-x在[0，1]上无解，
∴4^x+a•2^x-1=2^x在[0，1]上无解，
令2^x=t，t∈[1，2]，
∴t²+（a-1）t-1=0在区间[1，2]上无解，
∴a=1-t+$\frac{1}{t}$在区间[1，2]上无解，
设g（t）=1-t+$\frac{1}{t}$，
∴g（t）在区间[1，2]上单调递减，
故g（t）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴a＜-$\frac{1}{2}$或a＞1，
又∵4^x+a•2^x-1＞0在[0，1]上恒成立，
∴a＞$\frac{1}{{2}^{x}}-{2}^{x}$在[0，1]上恒成立，
即a＞$\frac{1}{t}-t$在[1，2]上恒成立，
设h（t）=$\frac{1}{t}$-t，
∴h（t）在区间[1，2]上单调递减，
故g（t）∈[-$\frac{3}{2}$，0]，
∴a＞0，
综上实数a的取值范围（1，+∞）．

点评 本题综合考查了函数恒成立问题、函数的基本性质等知识，理解所给的次不动点这个概念是解题的关键，属于难题．