Question

13．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）若a=3，f（$\frac{27}{x}$）=-5，求x的值；
（2）若f（3a-1）＞f（a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（$\frac{27}{x}$）=-5列出方程，根据对数得运算法则解出x；
（2）根据a的不同范围讨论f（x）的单调性，利用函数的单调性列出不等式解出a．

解答 解：（1）f（$\frac{27}{x}$）=log₃（$\frac{27}{x}$）=-5，∴$\frac{27}{x}$=3^-5，∴x=$\frac{27}{{3}^{-5}}$=$\frac{{3}^{3}}{{3}^{-5}}$=3⁸．
（2）①若a＞1，则f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴3a-1＞a＞0，解得a＞1．
②若0＜a＜1，则f（x）在（0，+∞）上是减函数，∴0＜3a-1＜a，解得$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{1}{2}$，
综上，a的取值范围是（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了对数得运算性质，对数函数的单调性及应用，属于基础题．