Question

16．圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{7}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{2}$
• C． $\frac{2}{5}\sqrt{7}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 过M作MP₃⊥AM交AB于P₃，过P₃作P₁P₂⊥AB交圆锥底面圆周为P₁，P₂，则P点轨迹为线段P₁P₂．根据射影定理求出OP₃，再利用垂径定理解出P₁P₂的长．

解答 解：过M作MP₃⊥AM交AB于P₃，过P₃作P₁P₂⊥AB交圆锥底面圆周为P₁，P₂，
则P₁P₂⊥平面AMP₃，∴AM⊥P₂P₁，即P点轨迹为线段P₁P₂．
∵△SAB是边长为4的等边三角形，∴AO=2，SO=2$\sqrt{3}$，∴OM=$\frac{1}{2}SO$=$\sqrt{3}$．
∵∠AMP₃=90°，∴OM²=AO•OP₃，解得OP₃=$\frac{3}{2}$．
∴P₁P₂=2$\sqrt{O{{P}_{1}}^{2}-O{{P}_{3}}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 本题考查了圆锥的结构特征，线面垂直的性质与判断，作出P的轨迹是解题关键，属于中档题．