Question

8．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=4cosθ，曲线D的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线D的参数方程化为普通方程；
（2）设曲线C与曲线D交于A，B，求向量$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．曲线D的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$（t为参数），消去t即可化为直角坐标方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=9}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-2y-18=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质即可得出$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，化为y²=4x．
曲线D的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t+2}\\{y=2t-5}\end{array}\right.$（t为参数），化为2x-y=9．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=9}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为：y²-2y-18=0，
∴y₁+y₂=2，y₁y₂=-18．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{1}{16}（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}$+y₁y₂=$\frac{1}{16}×1{8}^{2}-18$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、直线与抛物线相切交问题、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．