Question

1．对a，b∈R，记min{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，函数f（x）=min{-|x|，-x²+4x+6}的最大值是（　　）

• A． 6
• B． 1
• C． 0
• D． $\frac{3-\sqrt{33}}{2}$

Answer 1

分析 讨论当-|x|≤-x²+4x+6，当-|x|＞-x²+4x+6，可得f（x）的解析式，再由绝对值函数和二次函数的单调性即可得到所求最大值．

解答 解：当-|x|≤-x²+4x+6，即为
$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{x}^{2}-5x-6≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{x}^{2}-3x-6≤0}\end{array}\right.$，
即有0≤x≤6或$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$≤x＜0，
即$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$≤x≤6时，
f（x）=min{-|x|，-x²+4x+6}=-|x|，
当x=0时，取得最大值0；
当-|x|＞-x²+4x+6，即为x＞6或x＜$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$时，
可得f（x）=-x²+4x+6=-（x-2）²+10，
由f（6）=-6，f（$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，
-6＜$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$，可得f（x）的值域为（-∞，$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$）．
即有f（x）的最大值为0．
故选C．

点评 本题考查分段函数的运用，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．