Question

13．点P（0，4）关于x-y+3=0的对称点Q在直线l上，且l与直线3x-y+2=0平行
（1）求直线l的方程
（2）求圆心在直线l上，与x轴相切，且被直线x-2y=0截得的弦长为4的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）求出点（0，4）关于x-y+3=0的对称点，利用l与直线3x-y+2=0平行，即可求直线l的方程
（2）利用待定系数法，即可求出圆的方程．

解答 解：（1）设点Q（m，n）为点（0，4）关于x-y+3=0的对称点．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-4}{m}=-1}\\{\frac{m}{2}-\frac{n+4}{2}+3=0}\end{array}\right.$（2分）
解得m=1，n=3，即Q（1，3）．（3分）
由l与直线3x-y+2=0平行，得l的斜率为3．（4分）
又Q（1，3）在直线l上，
所以直线l的方程为y-3=3（x-1），即3x-y=0．（5分）
（2）设圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）．
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{3a-b=0}\\{|b|=r}\\{（\frac{|a-2b|}{\sqrt{5}}）^{2}+{2}^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$（7分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{r=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\\{r=3}\end{array}\right.$．（9分）
∴圆的方程为（x+1）²+（y+3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=9．（10分）

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于中档题．