Question

5．已知斜率为1的直线l经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．
（I）求p的值；
（II）若经过点D（-2，-1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，即可求p的值；
（II）由题意，直线m的方程为y=kx+（2k-1），与抛物线方程联立，利用判别式，即可求k的取值范围．

解答 解：（I）由题意可知，抛物线y²=2px（p＞0）的焦点坐标为$F（\frac{p}{2}，0）$，准线方程为$x=-\frac{p}{2}$．
所以，直线l的方程为$y=x-\frac{p}{2}$…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=x-\frac{p}{2}\\{y^2}=2px\end{array}\right.$消y并整理，得${x^2}-3px+\frac{p^2}{4}=0$…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=3p，
又|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
所以，3p+p=4，所以p=1…（6分）
（II）由（I）可知，抛物线的方程为y²=2x．
由题意，直线m的方程为y=kx+（2k-1）．…（7分）
由方程组$\left\{\begin{array}{l}y=kx+（2k-1）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$（1）
可得ky²-2y+4k-2=0（2）…（8分）
当k=0时，由方程（2），得y=-1．
把y=-1代入y²=2x，得$x=\frac{1}{2}$．
这时．直线m与抛物线只有一个公共点$（\frac{1}{2}，-1）$．…（9分）
当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4-4k（4k-2）．
由△＞0，即4-4k（4k-2）＞0，亦即4k²-2k-1＜0．
解得$\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}＜k＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}$．
于是，当$\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}＜k＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}$且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m与抛物线有两个不同的公共点，…（12分）
因此，所求m的取值范围是$（\frac{{1-\sqrt{5}}}{4}，0）∪（0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{4}）$．…（13分）

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．